МАТЕМАТИКА И ПЕРЕДЕЛ МИРА
Академик РАН Владимир Игоревич Арнольд. Рассмотрим первую цифру числа, выражающего площадь страны. Эта цифра может быть единицей, двойкой..., девяткой. Оказывается, распределение государств мира по первой цифре их площади крайне неравномерно. Страны, первая цифра площади которых равна единице, составляют примерно 30% общего их числа, а количество стран, первая цифра площади которых равна девяти, примерно в 6 раз меньше; доля стран, имеющих промежуточную между единицей и девяткой первую цифру площади, постепенно уменьшается. Данное распределение не зависит от единиц площади: ее можно измерять в квадратных километрах, в квадратных милях или в квадратных дюймах - результат получается таким же.
Hеравномерное распределение первых цифр наблюдается и во многих других случаях. Hапример, первые цифры численности населения стран мира демонстрируют такую же закономерность. Она была открыта в 1881 г. С. Hьюкомом и в соответствии с принципом эпонимики названа эмпирическим законом Ф. Бенфорда. Вклад математики в объяснение этих довольно таинственных эмпирических закономерностей состоит в разработке идей эргодической теории динамических систем. В последовательности первых цифр степеней двойки: 1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4.., единицы составляют примерно 30%, плотность девяток - в 6 раз меньше.
Эти математические факты строго доказываются в эргодической теории динамических систем. Рассмотрим поворот окружности на угол, несоизмеримый с 2pi. Повторяя этот поворот, мы получим из исходной точки последовательность точек окружности, называемую орбитой исходной точки под действием динамической системы, заданной поворотом окружности. Эта последовательность точек равномерно распределена вдоль окружности: движущаяся точка проводит в каждой области время, пропорциональное мере этой области (согласно теореме Г. Вейля, предшественнице эргодической теоремы Дж. Биркгофа ).
Приложение теоремы о равномерном распределении к повороту на угол 2pi*lg2, несоизмеримый с 2pi, доставляет странное распределение первых цифр чисел 2^n. Действительно, первая цифра числа зависит только от положения дробной доли его десятичного логарифма на окружности дробных частей. Длина дуги (0; 2pi*lg2), соответствующей первой цифре, равной единице, составляет около 30% длины всей этой окружности. Заметим, что
дробные доли чисел, составляющих геометрическую прогрессию (вроде 2^n), образуют орбиту соответствующей динамической системы (поворота окружности на соответствующий угол). Эта орбита равномерно распределена вдоль окружности, исключая лишь случай поворота на угол, соизмеримый с 2pi (что соответствует геометрической прогрессии, знаменатель которой равен рациональному кратному 10). Поэтому мы получаем одно и то же таинственное неравномерное распределение первых цифр для любой типичной геометрической прогрессии.
Этот математический результат объясняет распределение первых цифр численности населения стран мира. В соответствии с законом Мальтуса численность населения одной и той же страны в разные годы образует геометрическую прогрессию. Следовательно, первые цифры этих численностей подчиняются таинственному неравномерному закону распределения, так что примерно 30% из них - единицы.
Согласно эргодическому принципу, статистику временной эволюции численности населения одной страны можно заменить пространственным средним - средним по всем странам, рассматриваемым в один и тот же момент времени. Следовательно, распределение первых цифр численности населения стран мира должно быть таким же, как распределение первых цифр степеней двойки.
Чтобы получить распределение площадей, надо фиксировать какую-либо модель передела мира. В простейшей модели каждая страна с вероятностью 50% делится (за некоторую единицу времени) на две страны равной площади и с вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же площади. Для этой сверхупрощенной модели можно строго доказать, что через несколько единиц времени устанавливается все то же таинственное распределение первых цифр чисел, выражающих площади.
Предположительно такая же теорема справедлива для широкого класса модифицированных моделей. Hапример, можно заменить 50% другой вероятностью распада страны, можно сделать части неравными, можно даже учесть географическое положение стран (допуская объединение лишь с соседями). Компьютерные эксперименты с модифицированными моделями были выполнены в 1997 г. М.В. Хесиной в Торонто и Ф. Аикарди в Триесте. После небольшого числа итераций наблюдалось таинственное распределение первых цифр чисел, выражающих площади стран. Однако соответствующие предельные теоремы пока не доказаны.
